Составила: Агапова И.Ю., зав. УМК начального образования
Дата 27.01.03

Педагог считает, что активное введение в учебный процесс нестандартных задач, специфически направленных на развитие мышления, памяти, внимания, воображения и других важных психических  функций  является одной из важнейших задач учителя.. Привыкая к  выполнению стандартных типовых заданий, направленных на закрепление базовых навыков, которые имеют единственное решение и, как правило, единственный  ответ, который заранее предопределен на основе некоторого алгоритма, дети практически не имеют  возможности  действовать самостоятельно, эффективно использовать и развивать собственный интеллектуальный потенциал.

Решение одних  лишь типовых задач  обедняет  личность ребенка, поскольку в этом случае высокая самооценка учащихся и оценка их способностей учителем зависит, главным образом,  от прилежания и старательности  и не учитывает появления ряда индивидуальных качеств, таких, как выдумка, сообразительность, способность к творческому поиску, анализу и синтезу.  Таким образом, одним их основных мотивов использования нестандартных задач на уроках математики является развитие мышления младших школьников.

Проблему мышления, развития умственных способностей исследовали:  Л.С. Выготский,  А.Н. Леонтьев, С.Л. Рубинштейн, П.Я. Гальперин,  Б.М. Теплов, О.К. Тихомиров, В.В. Давыдов, В.А. Крутецкий, Н.А. Менчинская, Пиаже, Кеттел, Линдсей, Гилфорд, Векслер,  Томпсон и др.

Объект исследования -  процесс решения  нестандартных задач

Предмет:  Развитие мышления  младших школьников  в процессе решения нестандартных задач

Цель исследования: формирование у младших школьников   словесно-логического мышления.

Гипотеза: В данном исследовании педагог предполагал, что развитие  мышления младших школьников на уроках математики будет протекать эффективнее в процессе решения нестандартных задач:

- если обучать каждого ребенка с учетом диагностического  обследования и развивать с уже достигнутого уровня развития мышления.

- использовать в обучении дидактическую систему Л.В. Занкова, опираясь на следующие принципы -  обучение на высоком уровне  трудности,  изучение материала быстрым темпом, ведущей роли теоретических знаний, осознание процесса учения школьниками,  работы над развитием всех учащихся, как слабых так и сильных.

Для решения поставленных задач и проверки гипотезы были использованы следующие методы исследования: анализ  психолого-педагогической литературы по проблеме исследования мышления, научное  обобщение и изучение  передового опыта,  целенаправленное педагогическое наблюдение за развитием мышления,  опытно- экспериментальная работа, а также  беседы, опросы,  анкетирование,  изучение продуктов деятельности учащихся.

Теоретические аспекты развития мышления младших школьников.
Анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме.

В нашей стране наиболее широкое практическое применение в обучении мыслительным действиям получила теория формирования умственных действий, разработанная П.Я. Гальпериным. Известный советский психолог придавал особое значение формированию в процессе обучения у детей особых познавательных структурообобщенных схем. Это значение определяется тем, что обобщенные схемы действительности не только аккумулируют практический и познавательный опыт, но и являются одновременно с этими новыми мощными орудиями мышления. Многолетние исследования привели П.Я. Гальперина к выводу о необходимости формирования в процессе обучения полной ориентировочной основой действий. (// Хрестоматия по общей психологии: Психология мышления. - М.,1981.) Процесс формирования умственных действий, по П.Я. Гальперину, представляется следующим образом:

1.Ознакомление с составом будущего действия в практическом плане, а также с требованиями (образцами), которым оно в конечном счете должно будет соответствовать. Это и есть ориентировочная основа будущего действия.

2.Выполнение заданного действия во внешней форме в практическом плане с реальными предметами или их заместителями. Освоение этого внешнего действия идет по всем основным параметрам с определенным типом ориентировки в каждом.

3.Выполение действия без непосредственной опоры на внешние предметы или их заместители. Перенесение действия из внешнего плана в план громкой речи. Это означает речевое выполнение предметного действия.

4.Перенесение громкоречевого действия во внутренний план. Свободное проговаривание действия целиком «про себя».

5.Выполнение действия в плане внутренней речи с соответствующими его преобразованиями и сокращениями, с уходом действия из сферы сознательного контроля и переходом на уровень интеллектуальных умений и навыков.

Атахановым Р.А. было установлено, что теоретический тип мышления следует за эмпирическим и имеет внутри себя четко выраженных уровня: уровень осуществления анализа, уровень осуществления анализа и планирования и уровень осуществления рефлексии, предполагающий наличие анализа и планирования, что и является собственно теоретическим мышлением. Полученные данные позволили автору предположить, что теоретический уровень начинается со становления его аналитического уровня. В связи с этим Атаханов Р.А. выделяет 4 уровня развития мышления:
1.            Эмпирический (доаналитический) уровень;
2.            Аналитический уровень теоретического мышления;
3.            Планирующий уровень теоретического мышления;
4.            Рефлексирующий уровень теоретического мышления (собственно теоретическое мышление)

Теоретико–методические  особенности  решения  нестандартных  задач

В  общей  системе  обучения задачи  играют  особую  роль.  Через решение  задач осуществляется  необходимая  связь  теоретических  знаний  с  практикой, умение  решать  задачи  определяет  степень  обученности, общей  подготовленности  детей. В них  заложены большие  возможности  для  повышения общего  и  математического образования  школьников: развитие  смекалки, начал исследовательской  работы, логического мышления.   Раздел  обучения  решению задач считается наиболее  трудным.  И  это естественно, т. к. решение  задач вообще и  математических  в частности процесс  творческий, требующий продуктивного подхода, проникновения в скрытые в каждой задаче связи и зависимости, которые зачастую  могут  быть необычными,  нестандартными, а иногда  уникальными

Учитель разделяем  точку зрения И.И.Аргинской, которая считает, что «…  школа должна формировать у детей  истинное  умение решать задачи,  которое заключается  в способности решить любую задачу, доступного для данного возраста  уровня  трудности, если в ней отсутствуют незнакомые понятия и если для решения не требуется выполнить незнакомые операции…» (2) 

Для начальной  школы эти требования означают, что в тексте  задачи каждое слово должно быть детям понятно и решение задач должно требовать выполнение изученных на данном этапе операций. Текстовые задачи являются тем богатейшим материалом, на котором будет решаться важнейшая задача преподавания математики- развитие мышления и творческой активности учащихся.

В психолого-педагогической и методической литературе имеется ряд работ, предметом которых является формирование умение решать задачи. Кроме известной работы американского математика Ж. Пойа  «как решать задачи», в которой дается общая методика решения математических задач, можно назвать работы Г.И. Минской, Н.Г. Салминой, Н.Г. Талызиной, Л.М. Фридмана, А.З. Зака, Н.Б. Истоминой и др.

В соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин), предлагаем с самого начала обучения решению задач формировать у учащихся общее умение анализировать задачи.

Известно, что решение текстовых задач представляет большие трудности для учащихся. Известны и то, какой именно этап решения особенно труден. Это самый первый этап - анализ текста задачи.

По мнению Салминой Н.Г. (49), которая считает, что «… задача всегда представляет собой некую модель явления или процесса, отражающую (в математической задаче)  количественную сторону этого явления или процесса, выраженную через систему необходимых компонентов, функциональная зависимость между которыми и должна быть вскрыта путем анализа.»

Текст задачи - это рассказ о некоторых жизненных фактах:

У мальчика Димы в трех коробках лежали гвозди, винты и гайки…
Из листа бумаги вырезали треугольник…
Таня, Коля и папа отправились в поход…
Число яблок в корзине – двузначное…

В тексте важно все: и действующие лица, и их действия, и числовые характеристики. При работе с математической моделью задачи (числовым выражением или уравнением) часть этих деталей  опускается. Но мы именно и учим умению абстрагироваться от некоторых свойств и использовать другие.

Умение найти и составить план решения задачи имеет решающее значение. Это умение вести рассуждение от «начала» и от «конца» задачи. Способ рассуждений от данных к искомым величинам называется синтетическим и, наоборот, от искомых (вопроса задачи) к данным (известным) величинам называется аналитическим. Возможно их комбинация- аналитико-синтетический способ рассуждений. Такие способы рассуждений описаны в литературе (см., например: Шикова Р.Н. Способы разбора текстовых задач.- Начальная школа.- 1986.-№12)

Синтетический способ характеризуется тем, что основным, направляющим вопросом при поиске плана решения задачи является вопрос о том, что можно найти по двум или нескольким известным в тексте задачи числовым значениям. По вновь полученным числовым значениям и другим известным в задаче данным вновь ищется ответ на вопрос, что можно узнать по этим значениям. И так до ответа на вопрос задачи. Суть этого способа состоит в вычленение учащимися простых задач из составной и их решение. Обучение делению составных задач помогает учащимся овладеть синтетическим способом рассуждений.

Аналитический способ рассуждения характеризуется тем, что рассуждения начинается от вопроса задачи. Выясняется, что нужно предварительно узнать, чтобы ответить на вопрос задачи. Выясняется, что для этого надо найти «что-то». Вновь ставится вопрос: а что нужно знать, чтобы найти это «что-то»? И т.д. до того, когда ответ на таким образом поставленный вопрос имеется в условии задачи. После таких рассуждений составляется план решения задачи.

Чтобы помочь учащимся вести рассуждения аналитическим способом можно использовать методический прием, именуемый «деревом рассуждений» (см., Салмина Н.Г., Сохина В.П. Обучение математике в начальных классах- М.1975).

Поиск плана решения задачи можно осуществлять с помощью аналогии. Это способ рассуждения, когда на основе выявления полного или частичного сходства отношений между данными значениями величин в условиях ранее решенной задачи и вновь предложенной высказывается предположение, что для решения новой задачи можно воспользоваться полностью или частично планом решения ранее решенной, похожей задачей. «… Рассмотрите неизвестное! И постарайтесь вспомнить знакомую вам задачу с тем же или подобным неизвестным…», - пишет в книге «Как решать задачу» Ж.Пойа. в основе аналогии лежит сравнение. В обучении сравнение можно назвать основным приемом. Что такое сравнение? Обратимся к соответствующей статье философского словаря: «Сравнение-сопоставление объектов с целью выявления черт сходства или черт различия между ними. Оно является важнейшей предпосылкой обобщения. Играет большую роль в умозаключениях по аналогии» (54,с.385). Установив сходство отношений в данной задаче с отношениями в задаче, решенной ранее, учащиеся делают заключение, что план решения новой задачи должен быть похож на план решения предыдущей задачи.

Систематическая и целенаправленная работа по формированию у учащихся рассмотренных умений будет содействовать развитию их мышления.

Главная цель задач – развить творческое и математическое мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к «открытию» математических фактов.

Мы считаем, что достичь этой цели с помощью обычных стандартных задач невозможно. Наш опыт использования ряда нестандартных задач показывает, что для формирования самостоятельности мышления, воспитания творческой активности необходимо включать их в систему упражнений и задач, используемых на уроке, во внеклассной работе.

Решение нестандартных задач вызывает у детей наибольшие затруднения. Остановимся на понятии «нестандартная задача».

«Нестандартные задачи- это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения»,- считает Фридман Л.М. (55, с.47).

Однако следует заметить, что понятие «нестандартная задача» является относительным. Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной в зависимости от того, знакомы ли ученики со способами решения таких задач. Приведем пример нестандартной задачи:

На детской площадке 8 двухколесных и трехколесных велосипедов. Всего у них 21 колесо. Сколько двух- и сколько трехколесных велосипедов на площадке?

Эта задача является нестандартной до тех пор, пока учащиеся не познакомятся со способом её решения. Но если учащимся после решения этой задачи предложить несколько аналогичных задач, такие задачи становятся для учащихся стандартными.

Таким образом, нестандартная задача- это задача, алгоритм решения которой учащимся неизвестен, т.е. учащиеся не знают заранее ни способов её решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение.

Практика показывает, что чаще учителя единственным методом обучения решению задач считают показ способов решения определенных видов задач, после чего порой следует практика по овладению ими.

Ж. Пойа считает, что если учитель математики «заполнит отведенное ему учебное время натаскиванием учащихся в шаблонных упражнениях, он убьет их интерес, затормозит их умственное развитие и упустит свои возможности» (Пойа Ж. Как решать задачу-М.,1965-с.5)

Как учитель может помочь учащимся решать не стандартные задачи? Универсального метода, позволяющего решить любую нестандартную задачу, нет, т.к. нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы.

Однако, в методике можно найти описание опыта учителей, добивающихся  хороших результатов в математическом развитии учащихся. Некоторые методические приемы обучения учащихся способам решения нестандартных задач сформированы в книгах Ж. Пойа «Как решать задачу, «Математическое открытие»; Л.И. Фридмана и Е.Н. Турецкого « Как научиться решать задачу»; Ю.М. Колягина «Учись решать задачу».

Рассмотрим отдельные методические  приемы обучения учащихся решать нестандартные задачи:

1.       Прежде всего отметим, что научить учащихся решать задачи (в т.ч. нестандартные) можно только в том случае, если у учащихся будет желание их решать, т.е. если задачи будут содержательными и интересными с точки зрения ученика. Поэтому задача учителя – вызвать у учащихся интерес к решению той или иной задачи. Необходимо тщательно отбирать интересные задачи и делать их привлекательными для учащихся. Это могут быть – задачи –шутки, задачи-сказки,  старинные задачи и т.п. Одно бесспорно: наибольший интерес у   учащихся вызывают задачи, взятые из окружающей жизни, задачи, связанные со знакомыми вещами, опытом. Важно показать детям, что от решения математической задачи можно получить такое же удовольствие, как от разгаданного кроссворда или ребуса.

2.       Задачи не должны быть слишком легкими, но и не слишком трудными, т.к. ученики, не решив задачу или не разобравшись в решении, предложенном учителем, могут потерять веру в свои силы. В этом случае очень важно соблюсти меру помощи. Прежде всего учитель не должен знакомить учащихся с уже готовым решением. Подсказка должна быть минимальной. Ю.М. Колягин в своей книге «Учись решать задачи» пишет: «Для успешного решения нестандартных задач необходимо прежде всего уметь думать, догадываться. Но этого мало. Нужны, конечно, и знания, и опыт в решении необычных задач; полезно владеть и определенными общими подходами к решению».

Ж. Пойа выдвинул такие этапы решения задачи:

I Осознание постановки задачи.

II.Составление плана решения (гипотеза решения)

III. Осуществление выработанного плана;

IV. Исследование полученного решения.

Только выполнение всех  этих этапов позволяет считать решение завершенным полностью. В практике часто преимущественное внимание  уделяется II и особенно III этапу. Первый этап считается пройденным, если ученики смогли сказать, что в задаче дано и что нужно найти. Последний  IV этап  зачастую совсем отсутствует или существует в виде элементарной  проверки решения.

Мы считаем, что все четыре этапа одинаково важны, но на каждой ступени овладения умением решать задачи необходимо концентрировать внимание детей на разных  из этих этапов.

Наши наблюдения показывают, что  даже при решении несложных задач, учащиеся очень много времени тратят на рассуждения о том, за что взяться, с чего начать. Чтобы помочь учащимся найти путь к решению задачи, учитель должен уметь поставить себя на место решающего задачу, попытаться увидеть и понять источник его возможных затруднений.

Умелая помощь учителя оставляющая  различную долю самостоятельной работы, позволит ученикам разумную долю самостоятельной работы, позволит ученикам развить математические способности, накопить опыт, который в дальнейшем поможет находить путь решения новых задач.

«… Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы путем неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею… Хорошие идеи имеют своим источником прошлый опыт и ранее приобретенные знания… Часто оказывается уместным начать работу с вопроса: «Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?»» (41, с.19)

Таким образом, хорошим средством обучения решению задач, средством для нахождения плана решения являются вспомогательные задачи. Умение подбирать вспомогательные задачи свидетельствует о том, что учащиеся уже владеют определенным опытом решения нестандартных задач. Если этот опыт невелик, то учитель, видя затруднения учащихся должен сам предложить вспомогательные задачи.

Умело поставленные вопросы, вспомогательные задачи помогут понять идею решения. Необходимо стремиться к тому, чтобы учащиеся испытывали радость от решения трудной для них задачи.

Учитель должен постоянно помнить, что решение задач является не самоцелью, а средством обучения.

Рассмотрим  примеры решения таких задач, с тем чтобы выяснить особенности процесса их решения.

Задача 1 . В трех ящиках 300 яблок. Число яблок первого ящика составляет половину числа яблок второго ящика и треть числа яблок третьего ящика. Сколько яблок в каждом ящике?

Решение. Эта задача является практической (текстовой). Для подобных задач никакого общего правила, определяющего точную программу их решения не существует. Однако, это не значит, что вообще нет каких-либо указаний для решения таких задач.

Обозначим количество яблок в первом ящике через х. Тогда во втором ящике было 2х яблок, в третьем – 3х. Следовательно, сложив все числа х+2х+3х мы должны получить 300 яблок. Получаем уравнение х+2х+3х=300. решив уравнение, найдем: х=50 яблок, 2х=100 яблок, 3х=150 яблок. Значит, в первом ящике было 50 я., во втором –100 я., в третьем –150 я.

Проанализируем процесс приведенного решения задачи. Сначала мы определили вид задачи «текстовая задача», и, исходя из этого, возникла идея решения («составить уравнение»). Для этого, пользуясь весьма общими указаниями и образцами решения подобных задач, полученных на уроках («надо обозначить одно из неизвестных буквой, например х, и  выразить остальные неизвестные через х, затем составить равенство из полученных выражений»), мы построили уравнение. Заметим, что эти указания, которыми мы пользовались, не являются правилами, ибо в них ничего не сказано, какое из неизвестных обозначить через х, как выразить остальные неизвестные через х, как получить нужное равенство и т.д. Все это делается каждый раз по-своему, исходя из условий задачи и приобретенного  опыта решения подобных задач.

Полученное уравнение представляет собой уже стандартную задачу. Решив её, мы тем самым решили и исходную нестандартную задачу.

Смысл решения данной задачи состоит в том, что с помощью   особого приема (составление уравнения) мы свели её решение к решению стандартной задачи.

Задача 2. В магазин «Цветы» привезли 30 желтых тюльпанов и столько же красных.  Каждые 3 желтых тюльпана стоили 20 руб., а каждые 2 красных тюльпана стоили 30 руб. Продавец  сложила все эти тюльпаны вместе и решила сделать букеты по 5 тюльпанов и продавать их по 50 руб. Правильно ли она рассчитала?

Решение. Найдем стоимость всех тюльпанов, если бы продавец не складывала тюльпаны вместе (реальную стоимость).

20х30:3+30х30:2=650 руб.

Найдем стоимость тюльпанов в том случае, когда продавец сложила их по 5 в букеты и стала продавать по 50 руб. (предполагаемая стоимость).

(30+30):5х50=600 руб.

Сравниваем реальную и предполагаемую стоимость тюльпанов 650 руб. > 600 руб. Обнаруживаем, что расчет продавца ошибочен, т.к. при сложении всех тюльпанов и продажи их по 5 шт. в букетах она теряет 50 руб.

Процесс решения этой нестандартной задачи состоит в следующем: данную задачу мы разбили на такие подзадачи:

1)  нахождение реальной стоимости;

2)  нахождение предполагаемой стоимости;

3)  сравнение полученных стоимостей и вывод о расчете продавца.

Решив эти стандартные подзадачи, мы в конечном итоге решаем и исходную нестандартную задачу.

По мнению Л.М. Фридмана, процесс решения любой нестандартной задачи состоит в последовательном применении двух основных операций:

*сведение (путем преобразования или переформулирования) нестандартной задачи к другой, ей эквивалентной, но уже стандартной (способ моделирования);

*разбиение нестандартной задачи на несколько вспомогательных стандартных подзадач (способ разбиения).

Для того, чтобы легче было осуществлять способы разбиения и моделирования, мы считаем полезным построение вспомогательной модели задачи- схемы, чертежа, рисунка, графа, графика, таблицы. Эти модели способствуют развитию у детей конкретного и абстрактного мышления во взаимосвязи между собой, т.к. модель задачи, с одной стороны, дает возможность школьнику в наглядной форме конкретно представить зависимости между величинами,  входящими в задачу, а с другой- способствует абстрагированию, помогает отвлечься от сюжетных деталей, от предметов, описанных в тексте задачи.

Методика рассматривает несколько методов решения задач- алгебраический, арифметический, графический, практический, метод предположения, метод перебора. Они могут применяться как при решении стандартных задач, так и нестандартных.

Алгебраический метод решения задач развивает теоретическое мышление, способность к обобщению, формирует абстрактное мышление и обладает такими преимуществами, как краткость записи и рассуждений при составлении уравнений, экономит время. Арифметический метод решения также требует большого умственного напряжения, что положительно сказывается на развитии умственных способностей, математической интуиции, на формировании умения предвидеть реальную жизненную ситуацию. Часто встречаются задачи, которые можно решить методом перебора. При этом ученик как бы экспериментирует, наблюдает, сопоставляет факты и на основании частных выводов делает те или иные общие заключения. В процессе этих наблюдений обогащается его реально-практический опыт. Именно в этом и состоит практическая ценность задач на перебор. При этом слово «перебор» используется в смысле разбора всех возможных случаев, которые удовлетворяют условие задачи, показав, что других решений быть не может. Встречаются задачи, в которых алгебраический или арифметический метод недостаточно эффективен. В этом случае при поиске решения используется метод предположения.

В математике нет каких-либо общих правил, позволяющих решить любую нестандартную задачу, т.к. такие задачи в какой-то степени неповторимы. Нестандартная задача в большинстве случаев воспринимается как вызов интеллекту и порождает потребность реализовать себя в преодолении препятствия.

Таким образом, готовность школьников к решению нестандартных задач предполагает сформированность:

- основных мыслительных операций: анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия;

- умения устанавливать причинно-следственные связи и раскрывать функциональную зависимость между величинами, входящими в условия задачи;

- умения абстрагироваться от несущественного в задаче;

- умения переводить текстовые ситуации в схематические модели;

- умения применять найденные средства, методы и способы решения.

Педагог успешно применяет свою методику обучению решению нестандартных задач в начальной школе. Опыт можно использовать в любом ОУ.