Представила: О.Н. Скрынникова, зав. УМК математики ООИПКРО
Дата: 14.05.02

Геометрия давно и прочно вошла в систему общего образования. “Не знающий геометрии не выпускается из школы”. Под этим принципом подразумевается не столько совокупность специальных геометрических знаний, предусмотренных программой, сколько тот ничем пока не заменимый эффект, который имеет для развития личности сам процесс серьезного изучения геометрии.

Развитие логики и развитие интуиции (геометрической в том числе) – две важнейшие функции геометрического образования. Геометрия, как пожалуй никакой другой предмет, способствует развитию обоих качеств, поскольку логический и интуитивный аспекты в этом предмете переплетаются наиболее тесно. Принципиальным тормозом в деле геометрического образования является установившееся за многие годы положение курса геометрии в школе. Оно состоит в том, что в школе геометрия изучается начиная только с 7 класса и только в рамках систематического курса. При этом полностью отсутствует изучение наглядной геометрии. И нет убедительных причин, объясняющих, почему геометрия получила в школе именно такой статус.

К сожалению, школьный учебник возбудить интерес к предмету не в состоянии. Требования к систематическому изложению накладывают свой отпечаток на изложение материала. Ученик, как только он открывает учебную книгу по геометрии, неизбежно ощущает разрыв между его личным геометрическим опытом и тем, с чего начинается любое систематическое изложение геометрии. И это испытание разочарованием от первой встречи со школьной геометрией для многих определяет их дальнейшее отношение к предмету.

Выход из этой ситуации состоит в том, что наряду с систематическим курсом геометрии в среднем звене целесообразно совместное изучение планиметрии и стереометрии. Не торопясь, безо всяких доказательств существования тех или иных геометрических фигур можно знакомить учеников на моделях и их изображениях с разными телами, их свойствами, считать расстояния, углы, сравнивать треугольники, не лежащие в одной плоскости. Тогда к концу 9 класса ученики имеют достаточный запас наглядных представлений пространственных фигур и некоторый опыт в решении стереометрических задач. И совершенно естественно в начале 10 класса из знания из стереометрии были бы организованы на основе системы аксиом. В конце концов, геометрическая деятельность ученика не сводится только к познанию науки. Реальные объекты стереометрии окружают его со всех сторон. Как- то странно при обучении геометрии делать вид, что всего этого вроде бы не существует, и весьма искусственно задерживать его внимание только на планиметрии. Не трудно ли элементы стереометрии вводить до 10 класса? Опыт показывает, что задачи по стереометрии, для решения которых уже есть необходимые сведения из планиметрии, особых трудностей не вызывают. Дети видят на рисунке и тетраэдр, и его грани, и его ребра, и разные в нем отрезки.

Проблема взаимосвязанного изучения элементов планиметрии и стереометрии изучалась многими поколениями учителей и методистов. Своими корнями она уходит в седую древность. Так, уже Абу-Али ибн Сина объединяет в своих трудах основы планиметрии и стереометрии.

Чем же привлекательно для современной школы взаимосвязанное изучение определенных разделов математики? Дело в том, что при таком изучении учащиеся легче усваивают связь между этими разделами; при раздельном же изучении установление такой связи в мышлении представляет собой сложную, порой недостигаемую задачу. Необходимо решать вопрос о связи планиметрии и стереометрии так, как решает его сама жизнь: “В жизни мы всегда имеем “планиметрию в пространстве”, т.е. планиметрические фигуры, расположенные тем или иным образом в пространстве. (Это, конечно, не означает, что мы не можем их мыслить для простоты и удобства изучения лежащими в одной плоскости и рассматривать их в действительном, т.е. неискаженном виде)”.

Первой стадией познания геометрических форм является непосредственное восприятие их, поэтому необходимо, чтобы в нем принимали участие не только глаза; дети должны лепить и рисовать, измерять и клеить, накладывать и разрезать. Второй стадией процесса познания геометрической формы является возникновение в детском сознании геометрических образов. Внимание и интерес у детей могут поддерживаться только в случае, когда курс будет согласован с особенностями детской природы – деятельной и творческой.

Наиболее эффективными средствами развития пространственных представлений учащихся, как известно, являются: демонстрирование фигур, сравнение положений геометрических фигур относительно друг друга, моделирование, грамотное изображение фигур, чтение чертежа. Эти средства приводят к наилучшим результатам, если они используются систематически и в комплексе. Можно, например, изучая треугольник в 7 классе, ограничиться выполнением рисунка на доске. А можно, кроме этого, попросить учащихся отыскать треугольники у пирамиды, куба и т.п., указать углы этих треугольников, медианы, биссектрисы, высоты, изготовить дома соответствующие модели.

К окончанию 6 класса учащиеся знакомятся со многими названиями фигур, которые изучает геометрия: окружность, прямоугольник, многоугольник, треугольник, параллелепипед, шар, цилиндр и др. с некоторыми из указанных названий у учащихся ассоциируются пространственные формы. Полученные знания не следует предавать забвению. На каждом уроке нужно искать и устанавливать связи между понятиями планиметрии, пространственными геометрическими фигурами и предметами окружающей действительности. При изучении основных понятий планиметрии полезно использовать каркасные модели многогранников, известных учащимся из курса математики прошлых лет. Изучая в 7 классе тему “Точка и прямая”, можно не ограничиваться изображениями их на доске, а принести на урок конус, пирамиду, параллелепипед, показать их вершины – “точки”, сказать, что моделью прямой линии можно считать спицу, карандаш, показать возможные случаи расположения прямой линии по отношению к плоскости доски и стола. На втором уроке, отведенном для изучения свойства: “Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке”, можно попросить ребят подумать над вопросом: “Как могут быть расположены две прямые в пространстве?” Интуитивно они обнаружат случаи, когда две прямые пересекаются и укладываются в плоскости доски, две прямые не пересекаются и укладываются в плоскости доски, две прямые не пересекаются и не укладываются в плоскости доски. О последнем случае можно сказать, что он не относится к планиметрии и будет рассмотрен в старших классах.

При рассмотрении темы “Четырехугольники” полезно попросить учащихся показать различные четырехугольники на моделях параллелепипеда, пирамиды, усеченной пирамиды, куба, призмы, попросить показать противоположные вершины и стороны многоугольников. Частные виды четырехугольников (параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция) можно указать на моделях большинства многогранников. Помимо решения задач планиметрии такие упражнения “прокладывают мостик” от планиметрии к стереометрии и учат видеть зависимости между элементами пространственных фигур.

Можно привести множество других примеров изучения элементов стереометрии на уроках планиметрии. Но во всех этих случаях необходимы модели стереометрических фигур.

Модели могут быть рабочими, изготовленными тотчас из предметов, которые есть на уроке. Например, легко моделировать пару прямых в пространстве, прямую и плоскость, пару плоскостей, цилиндрическую и коническую поверхность. Для этого достаточно иметь листы бумаги и карандаши. Нужно постоянно содействовать тому, чтобы каждый ученик умел быстро изготовить модель: либо для выяснения геометрической ситуации, либо по условию задачи или теоремы. Важно советовать ребятам моделировать дома известные и новые геометрические факты, и интересоваться, следуют ли они этим советам. Учащимся, пространственное представление которых поддается развитию медленно, полезно давать специальные задания по изготовлению моделей для использования их на очередном уроке. Дети с большим желанием изготовляют каркасные модели многогранников, модели из картона, причем нужно давать задание – равные грани сделать из картона одного цвета, неравные – из бумаги разного цвета. Налицо анализ (какие грани равны?) и синтез (из отдельных граней собирается целое).

Учащиеся, с которыми такая работа ведется систематически, показывают лучшие результаты, они лучше читают чертеж, лучше изображают пространственные фигуры. Эти дети лучше подготовлены к изучению курса стереометрии 10-11 классов.