Представила: Скрынникова О.Н., зав.УМК математики
Дата: 25.10.02

1999/2000 учебный год

11 класс

1. График функции f(x)=ax⁴-x²+bx+c изображен на рисунке. Определить знаки коэффициентов a,b,c.

(рис.1)

2. Вычислить сумму 99,(1)+98,(2)+97,(3)+…+1,(99)
3. Окружность радиуса, равного высоте некоторого равнобедренного треугольника, катится по основанию этого треугольника. Доказать, что величина дуги, отсекаемой на окружности боковыми сторонами треугольника, остается при этом постоянной.
4. Уравнение  решить в целых положительных числах.
5. Изобразить на плоскости XOY множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству:
   

10 класс

1.     Рассматривается функция y=f(x), определенная на всем множестве  действительных чисел и удовлетворяющая для некоторого числа  соотношению . Доказать, что f(x)- периодическая функция.

2.     Нарисовать график функции
.

3.     Если через точку пересечения двух окружностей провести секущие, не продолжая их за окружности, то наибольшей из них окажется та, которая параллельна линии центров. Доказать.

4.     Цена на некоторый товар сначала возросла на n%, а затем упала на 3k%. В результате цена оказалась вдвое выше первоначальной. При каких минимальных натуральных n и k это возможно?

5.     На плоскости расположено 7 прямых. Известно, что они пересекаются в 13 точках, причем в 11 точках пересекаются только по 2 прямые, в одной – три прямые и в одной – 4 прямые. Докажите, что среди прямых найдется пара параллельных.

9 класс

1. Доказать, что для любого числа t выполняется неравенство:

2. Доказать, что если между коэффициентами уравнений x²+mx+n=0 и x²+px+q=0 имеет место зависимость mp=2(n+q), то хотя бы одно из этих уравнений имеет действительные корни.
3. Найти сумму острых углов произвольной пятиконечной звездочки

( рис.2)

4. Можно ли расставить в таблице 4*4 шестнадцать целых чисел, одновременно не равных нулю, так, чтобы сумма чисел по любой вертикали, горизонтали и диагонали равнялась нулю (таблица имеет 14 диагоналей, включая все малые, состоящие из 3-х, 2-х и 1-ой клеток)?
5. У продавца были весы с разными по длине плечами. Один килограмм товара он взвешивал на левой чашке, а другой килограмм того же товара и тому же покупателю – на правой чашке и считал, что этим он компенсировал неточность весов. Как получилось в действительности?

8 класс

1.      Сколькими нулями оканчивается число 49!

      (n!=1*2*3*…*n)

2.      Докажите, что если р – любое простое число, большее 3, то р²-1 делится на 24.

3.      В остроугольном треугольнике АВС высота АН, наибольшая из высот, равна медиане ВМ. Докажите, что угол АВС меньше 60⁰.

4.  Найдите все действительные решения системы:

5.   В комнате находится 12 человек. Некоторые из них всегда лгут, а другие всегда  говорят правду. Один из них сказал: “Здесь нет ни одного честного человека”, второй: “Здесь не более одного честного человека”, третий: “Здесь не более двух честных людей” и т.д., двенадцатый: “Здесь не более одиннадцати честных людей”. Сколько в комнате честных людей?

2000/2001 учебный год

11 класс

1.   Вычислить

2.   Решить уравнение

3.   Таблица m*n заполнена mn числами так, что в каждой строке и в каждом столбце эти числа составляют арифметическую прогрессию. Сумма четырех чисел, стоящих в углах таблицы, равна s. Чему равна сумма всех чисел в таблице?

4.   Все плоские углы при вершине тетраэдра ОАВС при вершине О прямые. Докажите, что квадрат площади треугольника АВС равен сумме квадратов площадей остальных граней.

5.   Даны три фразы таджикского языка с русскими переводами:

      дусти хуби хамсояи шумо – хороший друг вашего соседа;

      хамсояи дусти хуби шумо – сосед вашего хорошего друга;

      хамсояи хуби дусти шумо – хороший сосед вашего друга.

     Определите, какому русскому слову соответствует каждое из встречающихся  здесь таджикских слов.

10 класс

1.      Докажите, что если a, b, c – положительные числа и ab+bc+ca > a+b+c, то  a+b+c >3.

2.      Сколько пар целых чисел  удовлетворяет системе неравенств:

3.      Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке Т. Прямая касается одной из этих окружностей в точке А и пересекает другую в точках В и С. Доказать, что точка А равноудалена от прямых ВТ и СТ.

4.      На рисунке изображены графики квадратных трехчленов. Могут ли это быть трехчлены

(рис.3)

5.      В каждой клетке таблицы 8*8 записано число 1. Разрешается за один ход изменять знак у всех чисел, стоящих в одном ряду или столбце. Можно ли добиться, чтобы в таблице нашлась ровно одна клетка, в которой записано число –1.

9 класс

1.       Найдите все такие пары квадратных трехчленов и , что корни второго трехчлена- числа a и b (и только они), а корни первого трехчлена- числа c и d  (и только они).

2.       Решите систему:

3.       На плоскости отмечено 7 точек. Провели прямую l, для которой сумма расстояний до отмеченных точек меньше, чем сумма расстояний от этих точек до любой другой прямой плоскости. Докажите, что прямая l проходит через одну из отмеченных точек.

4.       Двоечник Вася порвал стенгазету, причем каждый попавшийся кусок рвал на 4 части. Могло ли у него получиться 2000 кусков?

5.       На координатной плоскости постройте множество точек, координаты которых принадлежат области определения выражения

8 класс

1.      Решите уравнение :

2.      Графики трех линейных функций расположены так, как показано на рисунке. Существуют ли такие числа a, b и c, что одна из этих функций задается формулой y = ax+b , другая- формулой y = bx+c, третья- формулой y = cx+a ?

(рис. 4)

3.      В треугольнике одна из медиан перпендикулярна одной из биссектрис. Докажите, что одна из сторон этого треугольника вдвое больше другой.

4.      Известно, что  - целое число. Докажите, что  - тоже целое число.

5.      Дано 16 бокалов, один из которых перевернут вверх дном. Можно ли поставить все бокалы нормально, если разрешается переворачивать одновременно два бокала?

2001/2002 учебный год

11 класс

1.   Докажите, что значение выражения не может быть целым числом ни при каком натуральном значении х.     

2.   В компании, состоящей из 5 человек, среди любых трех человек найдутся двое, которые знают друг друга, и двое незнакомых друг с другом. Докажите, что компанию можно рассадить за круглым столом так, чтобы по обе стороны от каждого человека сидели его знакомые.

3.   Решите уравнение:

4.   Основанием пирамиды SABC служит равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, у которого угол АСВ равен 90 . Высота пирамиды равна h, длины боковых ребер равны между собой. Найдите площадь сечения, проведенного через вершину А, параллельно ребру ВС под углом 30  к основанию пирамиды, зная, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости грани SBC.

5.   Докажите, что если стороны прямоугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию, то разность этой прогрессии равна радиусу вписанной окружности.

10 класс

1.   Решите уравнение

2.   Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится на расстоянии 5 см и 10 см от концов гипотенузы. Найдите катеты треугольника.

3.   Решите систему уравнений:

4.   Докажите, что любую функцию, определенную на промежутке, симметричном относительно начала координат, можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

5.   На некотором острове, где живут только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут, объявлен конкурс на должность губернатора. Каждый из n претендентов на эту должность сделал заявление: к-ый претендент (1< k < n) сказал: “Не считая меня, среди претендентов лжецов на к больше, чем рыцарей”. Сколько человек претендует на должность губернатора?

9 класс

1. Докажите, что сумма медиан треугольника больше ? периметра, но меньше периметра.
2. Найти четырехзначное число, у которого первые две цифры одинаковы, последние две цифры также совпадают, и которое является квадратом натурального числа.
3. Докажите, что
4. В уравнении определить а, если известно, что отношение корней равно 2.
5. Может ли сумма а⁴+в⁴ оканчиваться цифрой 9 при целых значениях а и в ?

   8 класс

   1.      В треугольнике АВС разность углов С и А равна 90 . Проведены биссектрисы внутреннего и внешнего угла В до пересечения с прямой АС в точках Д и Е. Докажите, что ВД=ВЕ.

   2.      Докажите, что выражение (х-1)(х-3)(х-4)(х-6)+10 принимает положительные значения  при любых значениях х.

   3.      Найдите двузначное число, зная, что его сумма с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке – точный квадрат.

   4.      В классе 40 человек. Играют в баскетбол 26 человек, занимаются плаванием 25 человек, ходят на лыжах 27 человек. Одновременно занимаются плаванием и баскетболом – 15 человек, баскетболом и лыжами – 16 человек, плаванием и лыжами – 18 человек. Один человек освобожден от занятий по физкультуре. Сколько человек занимается всеми видами спорта?

   5.      Разложите на множители выражение: