Представил:  Хаббасова А.К., методист УМК ПО 

Дата: 20.12.01

Задание для районных (городских) олимпиад по математике учащихся УНПО
в 2001-2002 учебном году

1.Вычислить:

(2 балла)

2.Пусть a и b- корни уравнения x²+px+q=0. a>0, b>0. Выразить через p и q.

(3 балла)

3.Каркас куба с ребром длины 4 разделен точками на единичные отрезки. Сколько разделов прямых определяют эти точки? (Оставить место для рисунка)

(4 балла)

4. Найдите все натуральные числа, представимые в виде , где m и n - натуральные числа.

(5 баллов)

5. Сколько пар целых чисел (x; y) удовлетворяет системе неравенств

(6 баллов)

возможные варианты решений:

1.  

Ответ:

2.  x²+px+q=0, p>0, q>0

По теореме Виета , тогда

Ответ:

3. Временно исключим из рассмотрения 12 прямых, проходящих

 через ребра куба. Тогда:

·       через каждую из 8 вершин куба (например, вершину P на рисунке 1) проходит 9?;3+4=27+4=31 прямая

·       через каждую из 36 «невершинных» точек (например, точку Q на рисунке 2) проходит 11?3+6=33+6=39 прямая

Так как каждая из упомянутых прямых была учтена дважды, то общее число прямых составляет

Ответ: 838 прямых.

4. Пусть m=2k-1, n=2k+1, где

Тогда

Ответ: любое натуральное число.

5.

Пусть , или

Таким образом, паре целых чисел (x;y) соответствует пара целых чисел (U;V) и наоборот.

В новых переменных система примет вид

Достаточно найти количество пар целых чисел (U;V), удовлетворяющих этой системе.

В плоскости (U;V) полученная система задает треугольник АВС (рис.3). На гипотенузе АС этого треугольника лежит 21 точка с целочисленными координатами, а треугольник АВС т равный ему треугольник АСД вместе составляют квадрат АВСД со стороной 20, который содержит 21²=441 точку с целочисленными координатами. Удалив из этого квадрата диагональ АС, получаем, что половина квадрата содержит 210 таких точек (420:2=210)

Итак в треугольнике АВС содержится 231 точка с целочисленными координатами: 21 на прямой АС и 210 ниже этой прямой.

Ответ: 231 пара.